Liczby Zespolone: Kompleksowy Przewodnik z Przykładami i Zastosowaniami

Liczby Zespolone: Kompleksowy Przewodnik z Przykładami i Zastosowaniami

Liczby zespolone to fascynujący obszar matematyki, który rozszerza koncepcję liczb rzeczywistych o element zwany jednostką urojoną, oznaczaną literą „i”, gdzie i² = -1. Pozwalają one na rozwiązywanie równań, które w zbiorze liczb rzeczywistych nie mają rozwiązań, otwierając drzwi do zaawansowanych zastosowań w fizyce, inżynierii, informatyce i wielu innych dziedzinach. Niniejszy artykuł stanowi kompletny przewodnik po liczbach zespolonych, omawiając ich definicję, operacje, reprezentacje graficzne, a także prezentując przykładowe zadania z rozwiązaniami krok po kroku.

Czym są liczby zespolone?

Liczba zespolona to liczba postaci z = a + bi, gdzie:

• a to część rzeczywista liczby zespolonej (Re(z)),
• b to część urojona liczby zespolonej (Im(z)),
• i to jednostka urojona, spełniająca równanie i² = -1.

Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem ℂ. Każda liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną (gdzie b=0). Liczby zespolone z a=0 nazywamy liczbami czysto urojonymi. Liczby zespolone, mimo swojej „urojoności”, mają bardzo realne i praktyczne zastosowania.

Operacje na liczbach zespolonych

Podobnie jak na liczbach rzeczywistych, na liczbach zespolonych możemy wykonywać podstawowe operacje arytmetyczne:

Dodawanie i Odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych polega na dodawaniu/odejmowaniu oddzielnie części rzeczywistych i urojonych:

Jeśli z₁ = a + bi oraz z₂ = c + di, to:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ – z₂ = (a – c) + (b – d)i

Przykład:

Niech z₁ = 3 + 2i oraz z₂ = 1 – 4i.

• z₁ + z₂ = (3 + 1) + (2 – 4)i = 4 – 2i
• z₁ – z₂ = (3 – 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i

Mnożenie

Mnożenie liczb zespolonych odbywa się podobnie jak mnożenie dwumianów, z uwzględnieniem faktu, że i² = -1:

z₁ * z₂ = (a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i

Przykład:

Niech z₁ = 3 + 2i oraz z₂ = 1 – 4i.

z₁ * z₂ = (3 * 1 – 2 * (-4)) + (3 * (-4) + 2 * 1)i = (3 + 8) + (-12 + 2)i = 11 – 10i

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych wymaga pomnożenia licznika i mianownika przez sprzężenie mianownika. Sprzężenie liczby zespolonej a + bi to a – bi.

z₁ / z₂ = (a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c – di)] / [(c + di) * (c – di)] = [(ac + bd) + (bc – ad)i] / (c² + d²)

Przykład:

Niech z₁ = 3 + 2i oraz z₂ = 1 – 4i.

z₁ / z₂ = [(3 + 2i) * (1 + 4i)] / [(1 – 4i) * (1 + 4i)] = [(3 – 8) + (12 + 2)i] / (1 + 16) = (-5 + 14i) / 17 = -5/17 + 14/17 i

Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych: Płaszczyzna Gaussa

Liczby zespolone można przedstawiać graficznie na płaszczyźnie zwanej płaszczyzną Gaussa (inaczej płaszczyzną zespoloną). Oś pozioma (oś odciętych) reprezentuje część rzeczywistą, a oś pionowa (oś rzędnych) reprezentuje część urojoną liczby zespolonej. Każda liczba zespolona z = a + bi odpowiada punktowi (a, b) na tej płaszczyźnie.

Wektor od początku układu współrzędnych do punktu (a, b) reprezentuje liczbę zespoloną jako wektor. Długość tego wektora nazywamy modułem liczby zespolonej, a kąt, jaki wektor tworzy z osią rzeczywistą, nazywamy argumentem liczby zespolonej.

Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy |z| i definiujemy jako:

|z| = √(a² + b²)

Moduł reprezentuje odległość punktu (a, b) od początku układu współrzędnych.

Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy arg(z) i definiujemy jako kąt, jaki wektor reprezentujący liczbę zespoloną tworzy z osią rzeczywistą. Argument jest określony z dokładnością do wielokrotności 2π. Argument główny (Arg(z)) to argument z przedziału (-π, π].

Argument można wyznaczyć z następujących wzorów:

• cos(φ) = a / |z|
• sin(φ) = b / |z|

Gdzie φ to argument liczby zespolonej z.

Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej

Liczbę zespoloną można przedstawić nie tylko w postaci algebraicznej (a + bi), ale również w postaci trygonometrycznej i wykładniczej. Te reprezentacje są szczególnie przydatne przy operacjach potęgowania i pierwiastkowania.

Postać trygonometryczna

Liczba zespolona z = a + bi może być zapisana w postaci trygonometrycznej jako:

z = |z| * (cos(φ) + i sin(φ))

Gdzie |z| to moduł, a φ to argument liczby zespolonej.

Postać wykładnicza

Postać wykładnicza liczby zespolonej z wykorzystuje wzór Eulera: e^iφ = cos(φ) + i sin(φ).

Liczba zespolona z = a + bi może być zapisana w postaci wykładniczej jako:

z = |z| * e^iφ

Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a jest niezwykle przydatny do potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:

(cos(φ) + i sin(φ))ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ)

Lub w postaci wykładniczej:

(e^iφ)ⁿ = e^inφ

Wzór ten pozwala na łatwe obliczenie potęgi liczby zespolonej, mnożąc argument przez wykładnik.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkowanie liczb zespolonych jest operacją odwrotną do potęgowania. Pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z ma dokładnie n różnych wartości. Możemy je obliczyć korzystając ze wzoru:

√[n](z) = √[n](|z|) * (cos((φ + 2kπ)/n) + i sin((φ + 2kπ)/n)), gdzie k = 0, 1, …, n-1

Gdzie |z| to moduł, a φ to argument liczby zespolonej z.

Rozwiązywanie równań z liczbami zespolonymi

Równania z liczbami zespolonymi mogą przyjmować różne formy. Często spotykane są:

• Równania algebraiczne (np. równania kwadratowe, wielomianowe)
• Równania zawierające sprzężenie liczby zespolonej
• Równania, w których niewiadoma występuje w argumencie lub module.

Rozwiązywanie równań kwadratowych z liczbami zespolonymi przebiega analogicznie do rozwiązywania równań kwadratowych z liczbami rzeczywistymi, z tym że w przypadku ujemnego wyróżnika, pierwiastki są liczbami zespolonymi. Używamy wzoru:

z = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Równania wyższych stopni często wymagają zastosowania metod numerycznych lub poszukiwania pierwiastków poprzez zgadywanie (np. wykorzystując twierdzenie Bezout).

Przykładowe zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Poniżej przedstawiono kilka przykładowych zadań z liczb zespolonych wraz z ich rozwiązaniami, aby lepiej zilustrować omawiane koncepcje.

Zadanie 1: Działania na liczbach zespolonych

Oblicz: (2 + 3i) * (1 – i) + (4 – 2i) / (1 + i)

Rozwiązanie:

1. Mnożenie: (2 + 3i) * (1 – i) = 2 – 2i + 3i – 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i
2. Dzielenie: (4 – 2i) / (1 + i) = [(4 – 2i) * (1 – i)] / [(1 + i) * (1 – i)] = (4 – 4i – 2i + 2i²) / (1 + 1) = (4 – 6i – 2) / 2 = (2 – 6i) / 2 = 1 – 3i
3. Dodawanie: (5 + i) + (1 – 3i) = 6 – 2i

Odpowiedź: 6 – 2i

Zadanie 2: Wyznaczanie części rzeczywistej i urojonej

Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej z = (3 – i)² / (1 + 2i)

Rozwiązanie:

1. Potęgowanie: (3 – i)² = 9 – 6i + i² = 9 – 6i – 1 = 8 – 6i
2. Dzielenie: (8 – 6i) / (1 + 2i) = [(8 – 6i) * (1 – 2i)] / [(1 + 2i) * (1 – 2i)] = (8 – 16i – 6i + 12i²) / (1 + 4) = (8 – 22i – 12) / 5 = (-4 – 22i) / 5 = -4/5 – 22/5 i

Odpowiedź: Re(z) = -4/5, Im(z) = -22/5

Zadanie 3: Rozwiązywanie równania z liczbami zespolonymi

Rozwiąż równanie: z² + 2z + 5 = 0

Rozwiązanie:

Obliczamy wyróżnik: Δ = b² – 4ac = 2² – 4 * 1 * 5 = 4 – 20 = -16

Ponieważ Δ < 0, mamy dwa pierwiastki zespolone:

z₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-2 + √(-16)) / 2 = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i

z₂ = (-b – √Δ) / 2a = (-2 – √(-16)) / 2 = (-2 – 4i) / 2 = -1 – 2i

Odpowiedź: z₁ = -1 + 2i, z₂ = -1 – 2i

Zadanie 4: Znajdowanie pozostałych pierwiastków równania

Wiadomo, że z = 1 jest pierwiastkiem równania z³ – 1 = 0. Znajdź pozostałe pierwiastki.

Rozwiązanie:

Skoro z = 1 jest pierwiastkiem, możemy podzielić wielomian z³ – 1 przez (z – 1):

(z³ – 1) / (z – 1) = z² + z + 1

Teraz rozwiązujemy równanie kwadratowe z² + z + 1 = 0

Δ = b² – 4ac = 1² – 4 * 1 * 1 = 1 – 4 = -3

z₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-1 + √(-3)) / 2 = (-1 + i√3) / 2

z₂ = (-b – √Δ) / 2a = (-1 – √(-3)) / 2 = (-1 – i√3) / 2

Odpowiedź: Pozostałe pierwiastki to z₁ = (-1 + i√3) / 2, z₂ = (-1 – i√3) / 2

Podsumowanie i dalsza eksploracja

Liczby zespolone stanowią fundament wielu dziedzin nauki i techniki. Zrozumienie ich właściwości i operacji na nich wykonywanych jest niezbędne do rozwiązywania problemów w elektrotechnice, mechanice kwantowej, przetwarzaniu sygnałów i wielu innych obszarach. Zachęcamy do dalszej eksploracji tego fascynującego tematu poprzez rozwiązywanie zadań, korzystanie z narzędzi matematycznych i poszukiwanie informacji w specjalistycznych publikacjach.

Powiązane wpisy:

• Liczby Zespolone Kalkulator
• Układy Równań Kwadratowych
• Sprzężenie Liczby Zespolonej
• Pierwiastkowanie Liczb Zespolonych